Das macht uns schwer, Dein Problem einzukreisen. Das Problem selbst ist merkwürdig. Mein Tipp: Im Verwandten und Bekanntenkreis fragen, ob jemand
a) ein analoges, schnurgebundenes Tisch-Telefon mit Bildschirm und CLIP
b) ein Telekom Speedphone oder
c) ein DSL-Router rumliegen hat.
So kannst Du schnell herausbekommen, ob es ein Gerät bei Dir ist oder das Problem seitens des Telefonie-Anbietern ausgelöst wird. Wäre es eines Deiner Geräte, könntest Du dann genauer forschen, also Anruflisten bzw. Telefonbücher löschen. Hilft auch das nicht Gerät komplett zurücksetzen und neu aufbauen. Auf puren Verdacht würde ich wegen einem solchen Fehler-Symptom nicht zurücksetzen.
Alternativ könntest Du Dir ein neues DECT-Mobilteil kaufen, beispielsweise ein Gigaset CL660HX, welches immer mal wieder bei Media-Markt bzw. Saturn für keine 35€ im Angebot ist. Das buchst Du direkt in den Telekom Speedport ein. Offiziell ist Gigaset HX nicht (mehr) mit der 723er-Serie kompatibel. Aber nach meinen Tests tut es noch. Den Anrufbeantworter machst Du dann über die Telekom SprachBox. Der Vorteil: Du bekämst HD-Voice, der Vorteil eines IP-basierten Anschlusses.
Alternativ tauschst Du auf Verdacht alles, also eine FRITZ!Box 7362 SL in eBay ergattern und dann daran ein Gigaset CL660HX. Kostet zusammen keine 60€. Wenn es nicht hilft, hättest Du so immer noch HD-Voice oder nimmst es als Backup-Geräte.