Bei mir ist das Problem jetzt ziemlich sicher behoben. Und es lag an einer Rufumleitung zum Anrufbeantworter.
Offensichtlich hatte ich die Konfiguration der Rufannahme durch den AB falsch verstanden. Ich hatte nämlich für die Rufnummern, die der AB beantworten sollte, eine Rufumleitung auf den AB konfiguriert. Ich hatte mich zwar etwas gewundert, dass man beim AB die Rufnummern, auf die er reagieren soll, ebenfalls angeben kann. Da es aber beim Ausprobieren immer wie gewünscht funktioniert hat, habe ich mir dann nicht weiter Gedanken darüber gemacht.
Tatsächlich finde ich es nach wie vor seltsam, dass die obige Konfiguration meistens so funktioniert hat wie ich es wollte - erst klingelt das Telefon, dann geht nach einer Weile der AB ran. Manchmal aber eben nicht, weil dann der AB sofort den Anruf angenommen hat. Und das eben, obwohl eine Rufumleitung mit Verzögerung konfiguriert war. Die Verzögerung wurde also manchmal einfach ignoriert. Wann das passiert, war nicht vorhersagbar - weder hing es damit zusammen, dass schon ein Gespräch im Gange war, noch gab es einen irgendeinen erkennbaren Zusammenhang mit der angerufenen Nummer. Am ehesten hing es mit dem anrufenden Anschluss zusammen, was ich mir immer noch nicht erklären kann.
Seitdem ich die Rufumleitungen auf den AB ersatzlos entfernt habe, passiert es aber nicht mehr, dass der AB sofort den Anruf annimmt, ohne dass ein Telefon klingelt. Ich sehe das Problem bei mir somit als gelöst an. Vielleicht hilft mein Bericht ja auch noch jemand anders weiter.