Nun mit der TeeOnline-Software hat das Problem erstmal nix zu tun. Selbst wenn die Software nicht mehr läuft, müsste Internet ja funktionieren, denn die Verbindung wird ja über den Router hergestellt und das ganz unabhängig von der Software.
Die "Kabel nicht angeschlossen" Meldung kommt vom Betriebssystem (gehe ich mal von aus, weiss nicht ob die TeeOnline-Software das auch kann, aber die läuft ja eh nicht). Da es ohne Hardwareänderung unter WinXP funzt, kann man da recht deutlich auf den Netzwerkkartentreiber setzen und eigentlich auch nur raten, beim Hersteller nach einem Treiberupdate zu suchen.
Ich weiss ja nicht welche Version von Win7 es ist, ich habe in der 32bit-Testversion problemlos WinXP-Treiber installieren können (in meinem Fall Soundkarte), was dann (32bit System vorausgesetzt) eventuell auch bei deinen Eltern hilft.
Alternativ vielleicht eine andere Netzwerkkarte einbauen, der Kostenfaktor liegt da bei gut 10 Euro, also hält sich in Grenzen.
Die TeeOnline-Software wir ja wahrscheinlich zum Zugriff auf Emails genutzt, eventuell auch für Webseiten. Solange die Software nicht läuft, kann man Webseiten natürlich direkt über den Internet Explorer, oder einen anderen Browser wie Firefox öffnen.
Email-mässig kann auch jedes POP3-Emailprogramm genutzt werden (Win7 hat meine ich ein "Windows Live Mail" dabei) für die TeeOnline Mailbox, aber dazu muss in der TeeOnline Benutzerverwaltung/Kundenbereich erst Email/Pop3 eingerichtet werden, falls nicht schon geschehen.